Привидение плоской системы сил к простейшему виду

Рассмотрим систему сил (F1, F2,..., Fn), расположенных в од­ной плоскости. Совместим с плоскостью расположения сил систему координат Оху и, выбрав ее начало в качестве центра приведения, приведем рассматриваемую систему сил к одной силе F0=åFk, (5.1) равной главному вектору, и к паре сил, момент которой равен глав­ному моменту M0=åM0(Fk), (5.2) где Мо(Fk)– момент силы Fk относительно центра приведения О. Так как силы распол в одной пл-ти, то сила Fo также лежит в этой плоскости. Момент пары Мо направлен перпенди­кулярно этой плоскости, т.к. сама пара распол в пл-ти действия рассматриваемых сил. Т.о., для плоской сис­темы сил главный вектор и главный момент всегда перпендикулярны друг другу (рис. 5.1). Момент полностью характеризуется алгебраической величиной Mz, равной произведению плеча пары на величину одной из сил, составля­ющих пару, взятой со знаком плюс, если «вращение-» пары происходит, против хода часовой стрелки, и со знаком минус, если оно происходит по ходу часовой стрелки. Пусть, например, даны две пары, (F1, F`1) и (F2, F`2) (рис. 5.2); тогда согласно данному определению имеем Mz(F1,F`1)=h1F1, MZ(F2,F'2)=-h2F2. Моментом силы относительно точки будем называть алгебраическую величину, равную проекции вектора момента силы относительно этой точки на ось, перпендикулярную плоскости, т. е. равную произведению модуля силы на плечо, взятому с соответствую­щим знаком. Для случаев, изображенных на рис. 5.3, а и б, соответственно будет Moz(F1)=hF1, Moz(F2)=–hF2 (5.4). Индекс z в формулах (5.3) и (5.4) сохранен для того, чтобы ука­зать на алгебраический характер моментов. Модули момента пары и момента силы обозначаются следую­щим образом: М(F,F')=| Мz(F,F`)|, Мо(F)=|МОz(F)|. Получим, Moz=åMoz(Fz). Для аналитического определения главного вектора применяются формулы: Fox=åFkx=F1x+F2x+…+Fnx, Foy=åFky=F1y,+F2y+…+Fny, Fo=(F2ox+F2oy)1/2=([åFkx]2+[åFky]2)1/2 (5.8); cos(x, Fo)=Fox /Fo, cos(y, Fo)=FOy/Fo.(5.9). А главный момент равен МОz=åMOz(Fk)=å(xkFky–ykFkx), (5.10) где xk, yk– координаты точки приложения силы Fk.

Докажем, что если главный вектор плоской системы сил не равен нулю, то данная система сил эквивалентна одной силе, т. е. приводится к равнодействующей. Пусть Fo≠0, МОz ≠0 (рис. 5.4, а). Дуговая стрелка на рис. 5.4, а символически изображает пару с мо­ментом MOz. Пару сил, момент которой равен главному моменту, представим в виде двух сил F1 и F`1, равных по модулю главному вектору Fo, т. е. F1=F`1 =Fo. При этом одну из сил (F`1), составляющих пару, приложим к центру приведения и направим в сторону, противоположную направлению силы Fo (рис. 5.4, б). Тогда система сил Fo и F`1 эквивалентна нулю и может быть отброшена. Следо­вательно, заданная система сил эквивалентна единственной силе F1 приложенной к точке 01; эта сила и является равнодействующей. Равнодействующую будем обозначать буквой R, т.е. F1=R. Очевидно, что расстояние h от прежнего центра приведе­ния О до линии действия равнодействующей можно найти из условия |MOz|=hF1 =hFo, т.е. h=|MOz|/Fo. Расстояние h нужно отложить от точки О так, чтобы момент пары сил (F1, F`1) совпадал с главным моментом MOz (рис. 5.4, б). В результате приведения системы сил к данному центру могут встре­титься следующие случаи: (1) Fo≠0, MOz≠0.В этом случае система сил может быть приведена к одной силе (равнодействующей), как это показано на рис. 5.4, в.(2) Fo≠0, МОz=0. В этом случае система сил приводится к одной силе (равнодей­ствующей),  проходящей через данный центр  приведения. (3) Fo=0, MOz≠0. При этом система сил эквивалентна  одной  паре сил. (4) Fo=0, МОz=0. В этом случае рассматриваемая система сил эквивалентна нулю, т.  е.  силы,  составляющие систему,  взаимно уравновешены.

Выберите раздел:

Сила. Система сил. Равновесие абсолютно твердого тела.

Аксиомы статики и их следствия:

Аксиома 1

Аксиома 2

Аксиома 3

Аксиома 4

Аксиома 5

Активные силы и реакции связей:

Принцип освобождаемости

Свойства связей

Основные задачи статики.

Приведение системы сходящихся сил к равнодействующей.

Условия равновесия системы сходящихся сил.

Сложение двух параллельных сил.

Момент силы относительно. точки и оси. Момент пары сил.

Теоремы о парах:

Теорема 1

Теорема 2

Теорема 3

Приведение системы пар к простейшему виду. Равновесие системы пар.

Лемма о параллельном переносе силы.

Основная теорема статики.

Условия равновесия пространственной системы сил.

Привидение плоской системы сил к простейшему виду.

Теорема Вариньона

Условия равновесия плоской системы сил.

Третья форма уравнений равновесия плоской системы сил

Равновесие тела при наличии трения скольжения.

Равновесие тела при наличии трения качения.

Центр параллельных сил.

Центр тяжести.